이산 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시 및 응용
5. 비이산 공간
참조

1. 개요

이산 공간은 위상 공간의 한 종류로, 위상 공간 X 위의 위상이 멱집합과 같아 X의 모든 부분 집합이 열린집합인 공간을 의미한다. 이산 공간은 모든 한원소 집합이 열린집합이고, 조밀 집합은 X 전체밖에 없으며, X를 정의역으로 하는 모든 함수가 연속 함수라는 특징을 가진다. 또한, 국소 연결 공간이자 완전 분리 공간이며, 국소 경로 연결 공간이자 완전 분리 공간이다. 이산 공간은 이산 위상, 이산 균등 공간, 이산 거리 공간 등으로 정의될 수 있으며, 모든 부분 집합이 열린 닫힌 집합이고, 제1 가산 공간, 국소 콤팩트 공간, 하우스도르프 공간 등의 성질을 만족한다. 이산 공간이 콤팩트 공간이 되기 위한 필요충분조건은 유한 집합인 것이며, 제2 가산 공간이 되기 위한 필요충분조건은 가산 집합인 것이다. 이산 공간은 다른 자연적인 위상, 균등성, 또는 거리를 갖지 않는 집합에 대한 기본 구조로 사용되거나 특정 가정을 테스트하기 위한 극단적인 예로 사용될 수 있다.

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이산 공간
기본 정보
점들로 구성된 이산 공간의 예시
유형	위상 공간
성질
T1 공간인가?	예
하우스도르프 공간인가?	예
정규 공간인가?	예
완전 분리 공간인가?	예
제1 가산 공간인가?	예
제2 가산 공간인가?	정의에 따라 다름
분리 가능 공간인가?	정의에 따라 다름
린델뢰프 공간인가?	정의에 따라 다름
연결 공간인가?	점 공간만 해당
국소 연결 공간인가?	예
콤팩트 공간인가?	유한 공간만 해당
거리화 가능 공간인가?	정의에 따라 다름
정의
정의	모든 부분 집합이 열린 집합인 위상 공간. 이산 위상을 갖춘 집합. 모든 점이 고립점인 위상 공간.
다른 정의	X의 모든 부분 집합이 열려 있는 경우, X의 위상은 이산적이라고 말한다.
예시
예시	모든 집합은 이산 위상을 부여받을 수 있다. 집합 {0, 1}은 이산 위상을 갖는 경우 이산 공간이다. 정수의 집합은 표준 유클리드 공간에서 상속된 부분 공간 위상을 갖는 경우 이산 공간이다.
같이 보기
같이 보기	비이산 공간

2. 정의

이산 공간은 여러 가지 동치인 방법으로 정의될 수 있다. 일반위상수학, 범주론, 기하학적으로 정의할 수 있다.

집합 $X$ 가 주어졌을 때:

$X$ 위의 '''이산 위상'''은 $X$ 의 모든 부분 집합을 열린 집합(따라서 닫힌 집합)으로 정의하여 만들 수 있다. $X$ 에 이산 위상이 주어지면 '''이산 위상 공간'''이라고 한다.
$X$ 위의 '''이산 균등 구조'''는 $X \times X$ 에서 대각선 $\{(x,x) : x \in X\}$ 의 모든 상위 집합을 근방으로 정의하여 만들 수 있다. $X$ 에 이산 균등 구조가 주어지면 '''이산 균등 공간'''이라고 한다.
$X$ 위의 '''이산 거리''' $\rho$ 는 다음과 같이 정의된다.

:

\rho(x,y) = \begin{cases}1 &\text{if}\ x\neq y , \\0 &\text{if}\ x = y\end{cases}

여기서

x,y \in X

이다. 이 경우

(X,\rho)

를 '''이산 거리 공간''' 또는 '''고립점'''의 공간이라고 한다.

거리 공간

(E,d)

는 임의의

x,y \in E

에 대해

x = y

이거나

d(x,y) > r

를 만족하는

r > 0

이 존재하면 ''균등 이산 집합''이라고 한다.^[1] 거리 공간의 기초가 되는 위상은 균등 이산이 아닌 상태에서도 이산적일 수 있다. 예를 들어, 실수 집합에서

\left\{2^{-n} : n \in \N_0\right\}

에 대한 일반적인 거리를 사용하면 된다.

이산 거리 공간 상의 균등계는 이산 균등계이며, 이산 균등 공간 상의 위상은 이산 위상이다.

2. 1. 위상수학적 정의

위상 공간

X

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''이산 공간'''이라고 한다.

$X$ 위의 위상은 그 멱집합이다. 즉, $X$ 의 모든 부분 집합이 열린집합이다.
$X$ 속의 모든 한원소 집합은 열린집합이다.
$X$ 속의 조밀 집합은 $X$ 전체 밖에 없다.
$X$ 를 정의역으로 하는 모든 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $f$ 는 연속 함수이다.
$X$ 를 공역으로 하는 연속 함수는 국소 상수 함수 밖에 없다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$ 및 연속 함수 $f\colon Y\to X$ 및 $y\in Y$ 에 대하여, $f|_U$ 가 상수 함수인 근방 $U\ni y$ 가 존재한다.
$X$ 속의 점렬 $(x_i)_{i=0}^\infty$ 이 수렴한다면, $x_N=x_{N+1}=x_{N+2}=\cdots$ 가 되는 $N\in\mathbb N$ 이 존재한다.
국소 연결 공간이자 완전 분리 공간이다.
국소 경로 연결 공간이자 완전 분리 공간이다.

2. 2. 범주론적 정의

범주론적으로, 이산 공간은 위상 공간의 구체적 범주에서의 자유 대상이다. 즉, 망각 함자

F\colon \operatorname{Top}\to\operatorname{Set}

는 왼쪽 수반 함자

:

D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}

:

D\dashv F

를 가지며, 이 함자를 '''이산 함자'''라고 한다. 집합

S

의

D

에 대한 상

I(S)

는

S

위의 이산 공간이다.

2. 3. 기하학적 정의

집합

X

위에 다음과 같은 표준적 거리 함수를 줄 수 있다.

:

d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\1&x\ne y\end{cases}

이 거리 함수를 '''이산 거리 함수'''(離散距離函數, discrete metric^영어)라 하고, 이산 거리 함수를 부여한 거리 공간을 '''이산 거리 공간'''(離散距離空間, discrete metric space^영어)이라고 한다. 이산 거리에 대한 거리 위상은 이산 위상과 같으며, 따라서 이산 공간이 거리화 가능 공간임을 알 수 있다. 이산 거리 공간은 초거리 공간을 이룬다.

3. 성질

이산 공간은 모든 부분 집합이 열린닫힌집합이며, 다음과 같은 다양한 위상적 성질을 만족시킨다.

제1 가산 공간이다.
국소 콤팩트 공간이다.
하우스도르프 공간이다.
완전 정규 공간이다.
거리화 가능 공간이다.
다양체(=파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)이다. (그러나 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.)
위상 차원이 0이다.
싱글톤이 열린 집합이며, 집적점을 포함하지 않는다.
싱글톤은 이산 위상의 기저를 형성한다.
모든 이산 위상 공간은 각 분리 공리를 만족시킨다. 특히, 모든 이산 공간은 하우스도르프이다.
모든 이산 공간은 완전 불연결이다.
모든 공집합이 아닌 이산 공간은 제2 범주이다.
모든 이산 공간은 (이산 거리에 의해) 거리화 가능하다.
유한 공간은 이산적인 경우에만 거리화 가능하다.

이산 공간

X

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

$X$ 는 콤팩트 공간이다.
$X$ 는 유한 집합이다.

이산 공간

X

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

$X$ 는 제2 가산 공간이다.
$X$ 는 가산 집합이다.

두 이산 공간

X

,

Y

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

$X$ 와 $Y$ 는 서로 위상 동형이다.
$X$ 와 $Y$ 사이에 전단사 함수가 존재한다.
같은 기수를 가진다.

이산 거리 공간의 기본 균일성은 이산 균일성이고, 이산 균일 공간의 기본 위상은 이산 위상이다. 따라서 이산 공간의 여러 개념은 서로 호환된다. 반면에, 비이산 균일 공간 또는 거리 공간의 기본 위상은 이산적일 수 있다. 예로는 실수선에서 상속되고

d(x,y) = \left|x - y\right|

로 주어지는 거리 공간

X = \{n^{-1} : n \in \N\}

가 있다. 이것은 이산 거리가 아니며, 또한 이 공간은 완비되지 않으므로 균일 공간으로서 이산적이지 않다. 그럼에도 불구하고, 그것은 위상 공간으로서 이산적이다.

X

는 ''위상적으로 이산적''이지만 ''균일하게 이산적'' 또는 ''거리적으로 이산적''이지 않다고 말한다.

이산 공간은 콤팩트할 필요충분 조건은 유한인 것이다. 모든 이산 균일 공간 또는 거리 공간은 완비이다. 위의 두 사실을 결합하면, 모든 이산 균일 공간 또는 거리 공간이 전유계일 필요충분 조건은 유한인 것이다. 모든 이산 거리 공간은 유계이다. 제1 가산 공간이며, 제2 가산일 필요충분 조건은 가산인 것이다.

만약

X

가 위상 공간이고

Y

가 이산 위상을 갖는 집합이라면,

X

는

X \times Y

에 의해 균등하게 덮인다(사영 맵이 원하는 덮개이다). 실수선의 부분 공간으로서의 정수에 대한 부분 공간 위상은 이산 위상이다. 이산 공간은 가산적일 필요충분 조건은 가산인 것이다. 이산적인 임의의 위상 부분 공간

\mathbb{R}

(일반적인 유클리드 위상 사용)은 반드시 가산이다.

4. 예시 및 응용

이산 구조는 종종 다른 자연적인 위상, 균등성 또는 거리를 갖지 않는 집합에 대한 "기본 구조"로 사용된다. 이산 구조는 특정 가정을 테스트하기 위한 "극단적인" 예로 자주 사용될 수 있다. 예를 들어, 모든 군은 이산 위상을 부여하여 위상군으로 간주될 수 있으며, 이는 위상군에 대한 정리가 모든 군에 적용됨을 의미한다. 실제로 분석가들은 대수학자들이 연구하는 일반적인, 비 위상적인 군을 "이산군"이라고 부를 수 있다. 어떤 경우에는, 예를 들어 폰트랴긴 쌍대성과 결합하여 유용하게 적용될 수 있다. 0차원 다양체 (또는 미분 가능한 또는 해석적 다양체)는 이산적이고 가산적인 위상 공간일 뿐이다 (비가산 이산 공간은 제2 가산이 아니다). 따라서 모든 이산 가산 군을 0차원 리 군으로 볼 수 있다.

곱 가산 무한 개의 이산 공간 자연수의 복사본은 무리수 공간과 위상 동형이며, 위상 동형은 연분수 전개로 주어진다. 가산 무한 개의 이산 공간 {0,1}의 복사본의 곱은 칸토어 집합과 위상 동형이며, 실제로 곱에 곱 균등성을 사용하면 칸토어 집합과 균등 위상 동형이다. 이러한 위상 동형은 숫자의 삼진법 표기법을 사용하여 주어진다. (칸토어 공간 참조.)

수학의 기초에서 {0,1}의 곱의 콤팩트성 속성에 대한 연구는 초여과기 보조 정리 (동등하게는, 부울 소 아이디얼 정리)에 대한 위상적 접근 방식의 핵심이며, 이는 선택 공리의 약한 형태이다.

5. 비이산 공간

이산 공간의 반대 개념은 자명 위상(비이산 위상이라고도 함)이며, 가능한 가장 적은 수의 열린 집합(공집합과 공간 자체)을 갖는다. 이산 위상이 초기적이거나 자유로운 반면, 비이산 위상은 최종적이거나 공자유이다. 즉, 위상 공간에서 비이산 공간으로의 모든 함수는 연속 함수이다.^[1]

이산 공간의 정반대는 밀착 공간(밀착 공간의 위상은 자명 위상이라고도 불림)이다. 이는 열린 집합의 수가 가능한 한 최소(공집합과 전체 집합)가 되도록 하는 공간이다. 이산 위상이 시발 대상·자유 대상인 것에 반해, 밀착 위상은 종착 대상·쌍대 자유 대상이 된다. 즉, 위상 공간에서 밀착 공간으로의 임의의 사상은 연속이 된다.

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